Question

9．以直線x±2y=0為漸近線，且截直線x-y-3=0所得弦長為$\frac{8\sqrt{3}}{3}$的雙曲線方程為（　　）

• A． $\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{8}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• C． y²-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線方程為x²-4y²=λ，聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4{y}^{2}=λ}\\{x-y-3=0}\end{array}\right.$，得3x²-24x+（36+λ）=0，由橢圓弦長公式求出λ=4，由此能求出雙曲線方程．

解答 解：∵雙曲線以直線x±2y=0為漸近線，
∴設(shè)雙曲線方程為x²-4y²=λ，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4{y}^{2}=λ}\\{x-y-3=0}\end{array}\right.$，消去y，得3x²-24x+（36+λ）=0，
設(shè)直線被雙曲線截得的弦為AB，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=8，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{36+λ}{3}$，
△=24²-432-12λ＞0，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+1}•\sqrt{{8}^{2}-4×\frac{36+λ}{3}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
解得λ=4，
∴所求雙曲線方程是$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)和弦長公式的合理運(yùn)用．