Question

11．函數(shù)f（x）=4^x+a•2^x+1-3．
（1）若a=-1，求方程f（x）=0的根；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）在[0，1]上的最小值為-5，若存在，求a的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用因式分解的方法，結(jié)合指數(shù)和對(duì)數(shù)的關(guān)系，即可得到方程的根；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）在[0，1]上的最小值為-5．令t=2^x（1≤t≤2），則y=t²+2at-3，討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，運(yùn)用單調(diào)性，解方程可得a的值．

解答 解：（1）4^x-2^x+1-3=0，即為（2^x-3）（2^x+1）=0，
即有2^x=3，解得x=log₂3；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）在[0，1]上的最小值為-5．
令t=2^x（1≤t≤2），則y=t²+2at-3，
當(dāng)-a≥2，即a≤-2時(shí)，[1，2]為遞減區(qū)間，即有t=2時(shí)，取得最小值-5，
即有1+4a=-5，解得a=-$\frac{3}{2}$＞-2不成立；
當(dāng)-a≤1，即a≥-1時(shí)，[1，2]為增區(qū)間，即有t=1時(shí)，取得最小值-5，
即為-2+2a=-5，解得a=-$\frac{3}{2}$＜-1不成立；
當(dāng)1＜-a＜2即-2＜a＜-1時(shí)，t=-a取得最小值，即為-3-a²=-5，
解得a=±$\sqrt{2}$，由-2＜a＜-1，可得a=-$\sqrt{2}$．
故存在實(shí)數(shù)a=-$\sqrt{2}$，使得f（x）在[0，1]上的最小值為-5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查可化為二次函數(shù)的最值的求法，考查指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．