Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C的各條棱長都為a，P為A₁B上的點，且PC⊥AB
（1）求二面角P-AC-B的正切值；
（2）求點B到平面PAC的距離．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）過P點作PM⊥AB于M，由正三棱柱性質知PM⊥平面ABC，過M作MN⊥AC于N，連接PN，則PN⊥AC，從而∠PNM為二面角P-AC-B的平面角，在Rt△PMN中，可求二面角P-AC-B的正切值．
（Ⅱ）根據M是AB中點，可知B到平面PAC距離等于M到平面PAC距離的2倍，過M作MQ⊥PN于Q，則MQ⊥平面PAC，可求M到平面PAC距離，從而可求點B到平面PAC距離．
解答：解：（Ⅰ）過P點作PM⊥AB于M，由正三棱柱性質知PM⊥平面ABC，
連接MC，則MC為PC在平面ABC上的射影．
∵PC⊥AB，∴MC⊥AB，∴M為AB中點，
又PM∥AA₁，所以P為A₁B的中點．
過M作MN⊥AC于N，連接PN，則PN⊥AC，∴∠PNM為二面角P-AC-B的平面角
在Rt△PMN中，由|PM|=，，得．
所以二面角P-AC-B的正切值為…（6分）
（Ⅱ）∵M是AB中點，∴B到平面PAC距離等于M到平面PAC距離的2倍，
又由（I）知AC⊥平面PMN，∴平面PMN⊥平面PAC，
過M作MQ⊥PN于Q，則MQ⊥平面PAC，．
故所求點B到平面PAC距離為…（12分）
點評：本題以正三棱柱為載體，考查面面角，考查點到面的距離，關鍵是作出面面角，尋找表示點面距離的線段．