Question

1．在銳角△ABC中，cosA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
（1）求角C；
（2）設(shè)AB=$\sqrt{2}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系，利用內(nèi)角和定理即可求出sinC以及角C的值；
（2）由正弦定理和三角形的面積公式，即可求出△ABC的面積．

解答 解：（1）銳角△ABC中，cosA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sinA=$\sqrt{1{-cos}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
又sinB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴cosB=$\sqrt{1{-sin}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
∴sinC=sin[π-（A+B）]
=sin（A+B）
=sinAcosB+cosAsinB
=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{10}}{10}$+$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
又C∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴C=$\frac{π}{4}$；
（2）△ABC中，由正弦定理得$\frac{AB}{sinC}$=$\frac{AC}{sinB}$，
又AB=$\sqrt{2}$，
∴AC=$\frac{AB•sinB}{sinC}$=$\frac{\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{6}{\sqrt{10}}$；
∴△ABC的面積為
S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AB•AC•sinA
=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\frac{6}{\sqrt{10}}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
=$\frac{6}{5}$．

點評 本題考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系以及正弦定理的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．