Question

10．已知A，B是函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$+log₂$\frac{x}{1-x}$的圖象上任意兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），點(diǎn)M（$\frac{1}{2}$，m）．
（I）求m的值；
（II）若S_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$），n∈N^*，且n≥2，求S_n．
（III）已知a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，n=1}\\{{S}_{n}，n≥2}\end{array}\right.$，其中n∈N^*．T_n為數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和，若T_n＞λ（S_n+1+1）對(duì)一切n∈N^*都成立，試求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$可知M是AB的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得x₁和x₂的關(guān)系，代入函數(shù)解析式即可求得m的值；
（2）由（1）可知，f（x₁）+f（x₂）=y₁+y₂=1，采用倒序相加法，即可求求得S_n；
（3）由題意可知當(dāng)n≥2時(shí)，${a_n}=\frac{n-1}{2}$，求得數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和T_n，由T_n＞λ（S_n+1+1），采用分離變量即可求得λ的表達(dá)式，即可求得λ的取值范圍．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$，
∴M是AB的中點(diǎn)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
由$\frac{1}{2}（{x_1}+{x_2}）=\frac{1}{2}$，得x₁+x₂=1，則x₁=1-x₂，x₂=1-x₁，
而$m=\frac{1}{2}（{y_1}+{y_2}）=\frac{1}{2}[f（{x_1}）+f（{x_2}）]$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}+{log_2}\frac{x_1}{{1-{x_1}}}+\frac{1}{2}+{log_2}\frac{x_2}{{1-{x_2}}}）$，
=$\frac{1}{2}（1+{log_2}\frac{x_1}{x_2}+{log_2}\frac{x_2}{x_1}）$，
=$\frac{1}{2}（1+{log_2}\frac{x_1}{x_2}•\frac{x_2}{x_1}）=\frac{1}{2}$
∴$m=\frac{1}{2}$．
（2）由（1）知：x₁+x₂=1，f（x₁）+f（x₂）=y₁+y₂=1，
${S_n}=f（\frac{1}{n}）+f（\frac{2}{n}）+…+f（\frac{n-1}{n}）$，
${S_n}=f（\frac{n-1}{n}）+f（\frac{n-2}{n}）+…+f（\frac{1}{n}）$，
兩式相加，得：$2{S_n}=[f（\frac{1}{n}）+f（\frac{n-1}{n}）]+[f（\frac{2}{n}）+f（\frac{n-2}{n}）]+…+[f（\frac{n-1}{n}）+f（\frac{1}{n}）]$=$\underbrace{1+1+…+1}_{n-1}=n-1$，
∴${S_n}=\frac{n-1}{2}$（n≥2，n∈N）．
（3）當(dāng)n≥2時(shí)，${a_n}=\frac{n-1}{2}$，${T_n}={a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}n（n-1）=\frac{{{n^2}-n+2}}{4}$，
由T_n＞λ（S_n+1+1），得$\frac{{{n^2}-n+2}}{4}＞λ\frac{n+2}{2}$，
∴$λ＜\frac{{{n^2}-n+2}}{2（n+2）}$對(duì)任意n≥2，n∈N^*都成立，
$\frac{{{n^2}-n+2}}{2（n+2）}=\frac{1}{2}[（n+2）+\frac{8}{n+2}-5]≥\frac{1}{2}（4+\frac{8}{4}-5）=\frac{1}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)等號(hào)成立，
∴$λ＜\frac{1}{2}$．
當(dāng)n=1時(shí)，λ＜$\frac{1}{3}$，
綜上可知$λ＜\frac{1}{2}$．
故λ的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和，涉及了向量的中點(diǎn)坐標(biāo)公式、采用倒序相加法求前n項(xiàng)和及不等式的性質(zhì)，考查分析問(wèn)題及解決問(wèn)題得能力，綜合能力強(qiáng)，屬于中檔題．