Question

11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=1，PA⊥平面PCD，PA=2$\sqrt{3}$，PD=2，E為線段DP上的一點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若二面角P-BC-E與二面角E-BC-D的大小相等，求DE的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出PA⊥CD，AD⊥CD，從而CD⊥面PAD，由此能證明平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅱ）過P、E作AD的垂線，交AD于M、N，過M、N作AB的平行線交BC于G、H，則∠PGM為二面角P-BC-A的平面角，∠EHN為二面角E-BC-A的平面角，由題意得∠PGM=2∠EHN，由此能求出DE的長．

解答 證明：（Ⅰ）∵PA⊥面PCD，CD?面PCD，∴PA⊥CD，
又∵ABCD是矩形，∴AD⊥CD，
∵PA∩AD=A，∴CD⊥面PAD，
∵CD?面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．
解：（Ⅱ）過P、E作AD的垂線，交AD于M、N，
則PM⊥底面ABCD，PN⊥底面ABCD，
過M、N作AB的平行線交BC于G、H，連結(jié)PG、EH，
則∠PGM為二面角P-BC-A的平面角，∠EHN為二面角E-BC-A的平面角，
由題意得∠PGM=2∠EHN，
∵PM=$\sqrt{3}$，MG=1，tan$∠PGM=\frac{PM}{MG}$=$\sqrt{3}$，
∴tan∠EHN=$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{EN}{NH}=\frac{EN}{1}$，解得EN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴DE=$\frac{1}{3}DP=\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查面面垂直的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．