Question

8．（1）已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$．求函數(shù)f（x）的定義域并判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）已知奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，x∈（-∞，0）時(shí)f（x）=-x²-x-1，求f（x）解析式．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)定義域和函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行求解和判斷．
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，利用對(duì)稱性進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）有意義，須滿足$\left\{\begin{array}{l}{1+x≥0}\\{1-x≤0}\end{array}\right.$，得-1≤x≤1，
故函數(shù)定義域是{x|-1≤x≤1}---（2分）
∵f（-x）=$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{1+x}$=f（x），
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．…（5分）
（2）∵奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，
∴f（0）=0，
若x＞0，則-x＜0，
即f（-x）=-x²+x-1=-f（x），
即f（x）=x²-x+1，x＞0，
故函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-x-1，}&{x＜0}\\{0}&{x=0}\\{{x}^{2}-x+1，}&{x＞0}\end{array}\right.$…12

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)定義域，函數(shù)奇偶性和函數(shù)解析式的求解，利用定義法和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．