Question

18．已知二次函數f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x-1，且f（0）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數y=f（log₃x+m），x∈[$\frac{1}{3}$，3]的最小值為3，求實數m的值；
（3）若對任意互不相同的x₁，x₂∈（2，4），都有|f（x₁）-f（x₂）|＜k|x₁-x₂|成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）要求二次函數的解析式，利用直接設解析式的方法，一定要注意二次項系數不等于零，在解答的過程中使用系數的對應關系，解方程組求得結果；
（2）令t=log₃x，（-1≤t≤1），則y=（t+m-1）²+2，由題意可得最小值只能在端點處取得，分別求得m的值，加以檢驗即可得到所求值；
（3）判斷f（x）在（2，4）遞增，設x₁＞x₂，則f（x₁）＞f（x₂），原不等式即為f（x₁）-f（x₂）＜k（x₁-x₂），即有f（x₁）-kx₁＜f（x₂）-kx₂，由題意可得g（x）=f（x）-kx在（2，4）遞減．由g（x）=x²-（2+k）x+3，求得對稱軸，由二次函數的單調區(qū)間，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）設二次函數的解析式為f（x）=ax²+bx+c （a≠0）
由f（0）=3得c=3，
故f（x）=ax²+bx+3．
因為f（x+1）-f（x）=2x-1，
所以a（x+1）²+b（x+1）+3-（ax²+bx+3）=2x-1．
即2ax+a+b=2x-1，
根據系數對應相等$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=-1}\end{array}\right.$，解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
所以f（x）=x²-2x+3；
（2）由于f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2，
函數y=f（log₃x+m）=（log₃x+m-1）²+2，
令t=log₃x，（-1≤t≤1），則y=（t+m-1）²+2，
由題意可知最小值只能在端點處取得，
若t=1時，取得最小值3，即有m²+2=3，解得m=±1，
當m=1時，函數y=t²+2在區(qū)間[-1，1]的最小值為2，
則m=1舍去；
當m=-1時，函數y=（t-2）²+2在區(qū)間[-1，1]遞減，
可得t=1時取得最小值且為3；
若t=-1時，取得最小值3，即有（m-2）²+2=3，解得m=3或1，
當m=1時，函數y=t²+2在區(qū)間[-1，1]的最小值為2，
則m=1舍去；
當m=3時，函數y=（t+2）²+2在區(qū)間[-1，1]遞增，
可得t=-1時取得最小值且為3．
綜上可得，m的值為-1或3；
（3）由于f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2，
即有f（x）在（2，4）遞增，
設x₁＞x₂，則f（x₁）＞f（x₂），
|f（x₁）-f（x₂）|＜k|x₁-x₂|即為f（x₁）-f（x₂）＜k（x₁-x₂），
即有f（x₁）-kx₁＜f（x₂）-kx₂，
由題意可得g（x）=f（x）-kx在（2，4）遞減．
由g（x）=x²-（2+k）x+3，對稱軸為x=$\frac{2+k}{2}$，
即有$\frac{2+k}{2}$≥4，解得k≥6，
則實數k的取值范圍為[6，+∞）．

點評 本題考查二次函數的解析式的求法，注意運用待定系數法和恒等式的結論，考查函數的最值的求法，注意運用換元法和二次函數的最值的求法，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用構造法，屬于中檔題．