Question

如圖①，直線l交x軸、y軸分別于A、B兩點，A（a，0）B（0，b），且（a-b）²+|b-4|=0

（1）求A、B兩點坐標．
（2）C為線段AB上一點，C點的橫坐標是3，P是y軸正半軸上一點，且滿足∠OCP=45°，求P點坐標．
（3）在（2）的條件下，過B作BD⊥OC，交OC、OA分別于F、D兩點，E為OA上一點，且∠CEA=∠BDO，試判斷線段OD與AE的數(shù)量關系，并說明理由．

Answer 1

考點：直線的一般式方程

專題：直線與圓

分析：（1）根據(jù)（a-b）²+|b-4|=0，即可求出a=b=4，即可求A、B兩點坐標．
（2）求出C的坐標，根據(jù)余弦定理即可，求P點坐標．
（3）根據(jù)三角形的全等關系證明三角形BFO與三角形BFC全等，即可．

解答： 解：（1）∵（a-b）²+|b-4|=0，
∴a-b=0且b-4=0，即a=b=4，
則A（4，0），B（0，4）．
（2）直線AB的方程為

x

4

+

y

4

=1，即x+y=4，
當x=3時，y=1，即C（3，1）．
∵P是y軸正半軸上一點，
∴P（0，m），m＞0，
則OC=

10

，CP=

9+(m-1)2

，OP=m，
由余弦定理得cos45°=

OC2+CP2-OP2

2OC•CP

=

10+9+(m-1)2-m2

2× 10 × 9+(m-1)2

=

2

2

，
平方整理得2m²+5m-25=0，
解得m=-5（舍）或m=

5

2

，即P（0，

5

2

）
（3）OD=AE；理由如下：連接DC
∵BD垂直于OC
∴∠BFO=∠BFC
又∵C點的縱坐標為3，∠CAD=45°
∴CA=3

2

，BC=﹙4

2

﹚²-﹙3

2

﹚²=4=BO
∴三角形BFO與三角形BFC全等，
∴BD是OC的垂直平分線
∴OD=FC
同理可證明OD=DC=3

2

，
∵∠CEA=∠BDO，
∴∠ECA=∠CEA
∴EA=CA=OD=3

2

，
∴OD=AE

點評：本題主要考查直線方程的求解以及三角形全等的應用，綜合考查直線的綜合應用．