Question

已知橢圓C的中點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過點(diǎn)（1，

4 2

3

），離心率e=

5

3

，若直線l過點(diǎn)M（-2，1），交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)M恰是線段AB的中點(diǎn)，求直線的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)離心率及橢圓過P求出待定系數(shù)，即得橢圓的方程．然后利用點(diǎn)差法求出直線的斜率即可得直線方程．

解答： 解：設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則
∵橢圓C的離心率為e=

5

3

，∴

c

a

=

5

3

，c=

5

3

a，
∴b²=a²-c²=

4

9

a2，
∵橢圓過點(diǎn)（1，

4 2

3

），∴

1

a2

+

32

9b2

=1，解得a²=9，∴b²=4，
故橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

4

=1；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（-2，1）是線段AB的中點(diǎn)，
所以x₁+x₂=-4，y₁+y₂=2，

x12 9 + y12 4 =1 x22 9 + y22 4 =1

，
兩式相減得

(x1+x2)(x1-x2)

9

+

(y1+y2)(y1-y2)

4

=0，
所以

y1-y2

x1-x2

=kAB=

8

9

，
所以直線AB的方程為y-1=

8

9

（x+2），即8x-9y+25=0．

點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求橢圓的方程以及利用點(diǎn)差法求直線方程，計(jì)算過程要細(xì)心．