Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）過點(diǎn)A（2，-4），
（Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線l方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)B（1，2），直線l過點(diǎn)B且與拋物線C交于P、Q兩點(diǎn)，若點(diǎn)B為PQ中點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用拋物線C經(jīng)過的點(diǎn)，求出p得到拋物線方程，然后求其準(zhǔn)線l方程；
（Ⅱ）設(shè)出經(jīng)過點(diǎn)B（1，2）的直線l的方程，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用平方差公式求出直線的斜率，即可求直線l的方程．

解答： 解：（ I）由拋物線C：y²=2px（p＞0）過點(diǎn)A（2，-4），解得P=4．
拋物線C的方程為y²=8x，其準(zhǔn)線l方程為x=-2；
（ II）顯然，直線l的斜率不存在或直線l的斜率為0均不符合題意，…（4分）
故可設(shè)直線l的方程為y-2=k（x-1），設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由題意可知：y₁²=8x₁，y₂²=8x₂，
y₁²-y₂²=8x₁-8x₂，∴k=

y1-y2

x1-x2

=

8

y1+y2

=2．
所以，直線l的方程為2x-y=0． …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線方程的求法，直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，平方差法的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．