Question

5．在四棱錐P-ABCD中，ABCD為平行四邊形，AC與BD交于O，G為BD上一點，BG=2GD，$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{c}$，試用基底{$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$}表示向量$\overrightarrow{PG}$=$\frac{1}{6}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）+\frac{2}{3}\overrightarrow$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，然后利用向量加減法的三角形法則求得$\overrightarrow{PG}$．

解答 解：如圖，

$\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{PB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{PB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BO}$
=$\overrightarrow{PB}+\frac{1}{6}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）=\overrightarrow{PB}+\frac{1}{6}（\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PB}）$
=$\frac{1}{6}\overrightarrow{PA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{PC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{PB}=\frac{1}{6}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）+\frac{2}{3}\overrightarrow$．
故答案為：$\frac{1}{6}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）+\frac{2}{3}\overrightarrow$．

點評 本題考查空間向量的基本定理及其意義，考查向量加減法的三角形法則，是基礎題．