Question

7．設(shè)F₁、F₂分別是離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，經(jīng)過點F₂且與x軸垂直的直線l被橢圓截得的弦長為$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)A，B是C上的兩個動點，線段AB的中垂線與C交于P、Q兩點，線段AB的中點M在直線l上，求$\overrightarrow{{F}_{1}P}•\overrightarrow{{F}_{1}Q}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率求得a=$\sqrt{2}$b，橢圓的通徑$\frac{2^{2}}{a}$=$\sqrt{2}$，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）利用點差法表示出斜率，可得直線PQ的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，即可求$\overrightarrow{{F}_{1}P}•\overrightarrow{{F}_{1}Q}$的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則a=$\sqrt{2}$c，b²=a²-c²=c²，
∴a=$\sqrt{2}$b，由經(jīng)過點F₂且與x軸垂直的直線l被橢圓截得的弦長為$\sqrt{2}$，
則$\frac{2^{2}}{a}$=$\sqrt{2}$，解得：a=$\sqrt{2}$，則b=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）由M在直線l上，則x_M=1，當(dāng)M在直線l上，則x=1，則P（-$\sqrt{2}$，0），Q（$\sqrt{2}$，0），
則$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=（1-$\sqrt{2}$，0）（$\sqrt{2}$-1，0）=-1，
當(dāng)AB的斜率存在，設(shè)AB的斜率為k，
則M（1，m），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由中點坐標(biāo)公式可知：x₁+x₂=2，y₁+y₂=2m，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{2}+{y}_{1}^{2}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{2}+{y}_{2}^{2}=1}\end{array}\right.$，兩式相減整理得：$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{（\;\;\;\;）}{（\;\;\;\;）}$•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
則k=-$\frac{1}{2m}$，
∴直線PQ的斜率k_PQ=2m，
直線PQ的方程y-m=2m（x-1），
$\left\{\begin{array}{l}{y=2mx-m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+8m²）x²-8m²x+2m²-2=0，
設(shè)P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），則x₃+x₄=$\frac{8{m}^{2}}{1+8{m}^{2}}$，x₃x₄=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+8{m}^{2}}$，
則$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=（x₃+1，y₃）（x₄+1，y₄），
=（x₃+1）（x₄+1）+y₃y₄，
=x₃x₄+（x₃+x₄）+1+（2mx₃-m）（2mx₄-m），
=（1+4m²）x₃x₄+（1-2m²）（x₃+x₄）+m²+1，
=（1+4m²）×$\frac{2{m}^{2}-2}{1+8{m}^{2}}$+（1-2m²）×$\frac{8{m}^{2}}{1+8{m}^{2}}$+m²+1，
=$\frac{11{m}^{2}-1}{1+8{m}^{2}}$，
由M（1，m）在橢圓內(nèi)部，故0＜m²＜$\frac{1}{2}$，
令t=11m²-1，則m²=$\frac{{t}^{2}+1}{11}$，
則$\frac{11{m}^{2}-1}{1+8{m}^{2}}$=$\frac{11}{8}$（1-$\frac{\frac{19}{8}}{t+\frac{19}{8}}$），則t∈（-1，$\frac{9}{2}$），
則t+$\frac{19}{8}$∈（$\frac{11}{8}$，$\frac{55}{8}$），
∴$\frac{11}{8}$（1-$\frac{\frac{19}{8}}{t+\frac{19}{8}}$）∈（-1，$\frac{9}{10}$）．
$\overrightarrow{{F}_{1}P}•\overrightarrow{{F}_{1}Q}$的取值范圍（-1，$\frac{9}{10}$）．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，考查計算能力，屬于中檔題．