Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且它的前n項(xiàng)和S_n=（

an+1

2

）²-

1

4

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

an+1

sn2

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得4S_n=an2+2an，從而（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，由此得到{a_n}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，進(jìn)而求出a_n=2n．
（2）由b_n=

an+1

Sn2

=

2n+1

(n2+n)2

=

2n+1

n2(n+1)2

=

1

n2

-

1

(n+1)2

，利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且它的前n項(xiàng)和S_n=（

an+1

2

）²-

1

4

，
∴4S_n=an2+2an，①
∴n≥2時(shí)，4Sn-1=an-12+2an-1，②
①-②，得：4a_n=a_n²-a_n-1²+2a_n-2a_n-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）-2（a_n+a_n-1）=0，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，
∴a_n-a_n-1=2，
又S1=a1=(

a1+1

2

)2-

1

4

，解得a₁=2或a₁=0，
{a_n}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=2+（n-1）×2=2n．
（2）∵S_n=（

an+1

2

）²-

1

4

=（

2n+1

2

）²-

1

4

=n²+n，
∴b_n=

an+1

Sn2

=

2n+1

(n2+n)2

=

2n+1

n2(n+1)2

=

1

n2

-

1

(n+1)2

，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和：
T_n=[1-

1

4

+

1

4

-

1

9

+…+

1

n2

-

1

(n+1)2

]
=1-

1

(n+1)2

=

n2+2n

(n+1)2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意構(gòu)造法和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．