Question

15．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，且∠A=60°，a=2，$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{BC}$=3，則△ABC的面積為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$）．代入$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{BC}$=3即可得出$\overrightarrow{BA}$在$\overrightarrow{BC}$上的投影，根據(jù)三角形的性質(zhì)得出△ABC為等邊三角形．

解答 解：∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，∴$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$）
∴$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$）$•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$+$\frac{1}{2}{\overrightarrow{BC}}^{2}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$+2=3，
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=2|$\overrightarrow{BA}$|•cosB=2，
∴|BA|cosB=1，即$\overrightarrow{BA}$在$\overrightarrow{BC}$上的投影為1．
過A作AE⊥BC于E，則BE=1．即E為BC的中點(diǎn)，
∴△ABC是等腰三角形，又∠BAC=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×2×sin60°$=$\sqrt{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，平面向量在幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．