Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+2sinxcosx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）根據(jù)x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+2sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+sin2x
=$\frac{3}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈z．
（Ⅱ）由x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]，得2x+$\frac{π}{6}$∈[0，$\frac{5π}{6}$]，得sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[0，1]，
所以f（x）的最大值為$\sqrt{3}$，最小值為0．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．