Question

8．已知命題p：“函數(shù)f（x）=ax+$\frac{1}{2}$lnx在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞減”；命題q：“存在正數(shù)x，使得2^x（x-a）＜1成立”，若p∧q為真命題，則a的取值范圍是（　　）

• A． （-1，-$\frac{1}{2}$]
• B． （-1，-$\frac{1}{2}$）
• C． [-1，-$\frac{1}{2}$]
• D． [-1，-$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 根據(jù)f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立即可求出命題p為真命題時(shí)a的取值范圍，而由命題q知$x-\frac{1}{{2}^{x}}＜a$在（0，+∞）上有解，通過求導(dǎo)可判斷$x-\frac{1}{{2}^{x}}$在（0，+∞）上單調(diào)遞增，從而可以得出命題q為真命題時(shí)a的取值范圍，再由p∧q為真命題知p，q都為真命題，從而對(duì)上面求的兩個(gè)a的范圍求交集即可得到答案．

解答 解：命題p：f′（x）=$\frac{2a{x}^{2}+1}{2x}$；
∵f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減；
∴2ax²+1≤0，即$a≤-\frac{1}{2{x}^{2}}$在[1，+∞）上恒成立；
x=1時(shí)，$-\frac{1}{2{x}^{2}}$在[1，+∞）上取最小值$-\frac{1}{2}$；
∴$a≤-\frac{1}{2}$；
命題q：2^x（x-a）＜1即$x-\frac{1}{{2}^{x}}＜a$在（0，+∞）上有解；
設(shè)g（x）=$x-\frac{1}{{2}^{x}}$，g′（x）=$1+\frac{ln2}{{2}^{x}}$＞0；
∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
∴g（x）＞g（0）=-1，即$x-\frac{1}{{2}^{x}}＞-1$；
∴a＞-1；
∵p∧q為真命題；
∴p，q都為真命題；
∴-1$＜a≤-\frac{1}{2}$；
∴a的取值范圍是（-1，$-\frac{1}{2}$]．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，不等式在一個(gè)區(qū)間上恒成立和在該區(qū)間上有解的區(qū)別，函數(shù)單調(diào)性定義的運(yùn)用，p∧q的真假和p，q真假的關(guān)系．