【題目】已知函數(shù)f(x)=(x2+ax﹣a)e1﹣x , 其中a∈R. (Ⅰ)求函數(shù)f'(x)的零點個數(shù);
(Ⅱ)證明:a≥0是函數(shù)f(x)存在最小值的充分而不必要條件.

【答案】解:(Ⅰ)由f(x)=(x2+ax﹣a)e1﹣x

得f′(x)=(2x+a)e1﹣x﹣(x2+ax﹣a)e1﹣x=﹣[x2+(a﹣2)x﹣2a]e1﹣x=﹣(x+a)(x﹣2)e1﹣x,

令f′(x)=0,得x=2,或x=﹣a.

所以當a=﹣2時,函數(shù)f′(x)有且只有一個零點:x=2;

當a≠﹣2時,函數(shù)f′(x)有兩個相異的零點:x=2,x=﹣a.

(Ⅱ)證明:①當a=﹣2時,f′(x)≤0恒成立,此時函數(shù)f(x)在(﹣∞,+∞)上單調遞減,

所以,函數(shù)f(x)無極值.

②當a>﹣2時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:

x

(﹣∞,﹣a)

﹣a

(﹣a,2)

2

(2,+∞)

f′(x)

0

+

0

f(x)

極小值

極大值

所以,a≥0時,f(x)的極小值為f(﹣a)=﹣ae1+a≤0.

又x>2時,x2+ax﹣a>22+2a﹣a=a+4>0,

所以,當x>2時,f(x)=)=(x2+ax﹣a)e1﹣x>0恒成立.

所以,f(﹣a)=﹣ae1+a為f(x)的最小值.

故a≥0是函數(shù)f(x)存在最小值的充分條件.

③當a=﹣5時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:

x

(﹣∞,2)

2

(2,5)

5

(5,+∞)

f′(x)

0

+

0

f(x)

極小值

極大值

因為當x>5時,f(x)=(x2﹣5x+5)e1﹣x>0,

又f(2)=﹣e﹣1<0,

所以,當a=﹣5時,函數(shù)f(x)也存在最小值.

所以,a≥0不是函數(shù)f(x)存在最小值的必要條件.

綜上,a≥0是函數(shù)f(x)存在最小值的充分而不必要條件


【解析】(Ⅰ)先求導,再由導函數(shù)為0,解得即可;(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)分類討論,分別利用導數(shù)和函數(shù)的最值的關系以及充分不必要條件的定義即可證明.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數(shù)的極值與導數(shù)的相關知識,掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側,右側,那么是極大值(2)如果在附近的左側,右側,那么是極小值.

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