Question

9．若f（x）=x²-x+b，且f（log₂a）=b，log₂|f（a）|=2（a≠1），當(dāng)滿足log₂（2-x）≤2時，求f（2^x）的最小值及對應(yīng)的x值．

Answer 1

分析 由f（log₂a）=b可求出a，再由log₂f（a）=2即可求得b，從而求出解析式；表示出f （2^x），配方后利用函數(shù)單調(diào)性可求最小值及x值．

解答 解：（1）由f（log₂a）=b，得（log2a）²-log₂a+b=b，即（log2a）²-log₂a=0，
解得log₂a=1或log₂a=0（舍），所以a=2．
由log₂|f（a）|=2，得f（a）=±4，即f（2）=±4，
所以2²-2+b=±4，解得b=2或者b=-6．
所以函數(shù)f（x）=x²-x+2或者f（x）=x²-x-6；當(dāng)滿足log₂（2-x）≤2時，即-2≤x≤2時，$\frac{1}{4}$≤2^x≤4，所以f（2^x）=（2^x）²-2^x+2=（2^x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，當(dāng)x=-1時，f（2^x）的最小值為$\frac{7}{4}$；
或者f（2^x）=（2^x）²-2^x-6=（2^x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{25}{4}$，當(dāng)x=-1時最小值為-$\frac{25}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題