Question

14．設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）長軸的兩端點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)M在橢圓上，若直線AM與BM的斜率之積為-$\frac{3}{4}$，則橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 通過設(shè)點(diǎn)A（-a，0），B（a，0），M（m，n），利用k_AM•k_BM=-$\frac{3}{4}$及$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{n}^{2}}{^{2}}=1$，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：設(shè)點(diǎn)A（-a，0），B（a，0），M（m，n），
則k_AM•k_BM=$\frac{n}{m+a}$•$\frac{n}{m-a}$=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$，
∵$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{n}^{2}}{^{2}}=1$，
∴n²=b²（1-$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$）=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$（a²-m²），即$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，則e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求橢圓的離心率，注意解題方法的積累，屬于中檔題．