4.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),若橢圓C與曲線|y|=x的交點(diǎn)分別為A,B(A下B上),且A,B兩點(diǎn)滿足$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AB}$=2.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過橢圓C上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P,作⊙O:x2+y2=$\frac{4}{3}$的兩條切線,切點(diǎn)分別為M,N,且直線MN在x軸,y軸上的截距分別為m,n,證明:$\frac{1}{3{m}^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$為定值.

分析 (1)利用若橢圓C與曲線|y|=x的交點(diǎn)分別為A,B(A下B上),且A,B兩點(diǎn)滿足$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AB}$=2,確定B的坐標(biāo),將B的坐標(biāo)(1,1)代入橢圓方程,結(jié)合離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$,求得a,b,即可求出橢圓的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),由M、N是⊙0的切點(diǎn)知,OM⊥MP,ON⊥NP,推出圓的方程,過橢圓E上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P,作⊙O:x2+y2=$\frac{4}{3}$的兩條切線,切點(diǎn)分別為M、N,求出直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m、n,然后證明:$\frac{1}{3{m}^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$為定值.

解答 (1)解:∵橢圓C與曲線|y|=x的交點(diǎn)分別為A,B(A下B上),
∴可得B(x,x),A(x,-x)(x>0),
∵A,B兩點(diǎn)滿足$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AB}$=2,
∴(x,x)•(0,2x)=2,
∴x=1,
∴B(1,1),
∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1$,
∵$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,
∴a=2,b=$\frac{2}{\sqrt{3}}$
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{3}}=1$;
(2)證明:設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),由M、N是⊙0的切點(diǎn)知,OM⊥MP,ON⊥NP,
∴O、M、P、N四點(diǎn)在同一圓上,且圓的直徑為OP,則圓心為($\frac{{x}_{1}}{2}$,$\frac{{y}_{1}}{2}$),
其方程為x2+y2-x1x-y1y=0-----①
即點(diǎn)M、N滿足方程④,又點(diǎn)M、N都在⊙O上,

∴M、N坐標(biāo)也滿足方程⊙O:x2+y2=$\frac{4}{3}$---------------②
②-①得直線MN的方程為x1x+y1y=$\frac{4}{3}$,
令y=0得m=$\frac{4}{3{x}_{1}}$,令x=0得n=$\frac{4}{3{y}_{1}}$,
∴x1=$\frac{4}{3m}$,y1=$\frac{4}{3n}$,又點(diǎn)P在橢圓E上,
∴($\frac{4}{3m}$)2+3($\frac{4}{3n}$)2=4,即$\frac{1}{3{m}^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$=$\frac{3}{4}$為定值.

點(diǎn)評 此題考查了直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,以及橢圓的簡單性質(zhì),熟練掌握橢圓的簡單性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

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