Question

2．已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足$\frac{{a-3{e^a}}}=\frac{3-2c}{d-4}$=1（e是自然對數(shù)的底數(shù)），則（a-c）²+（b-d）²的最小值為20．

Answer 1

分析 由已知得點(diǎn)（a，b）在曲線y=x-3e^x上，點(diǎn)（c，d）在曲線y=7-2x上，（a-c）²+（b-d）²的幾何意義就是曲線y=x-3e^x到曲線y=7-2x上點(diǎn)的距離最小值的平方．由此能求出（a-c）²+（b-d）²的最小值．

解答 解：∵實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足 $\frac{{a-3{e^a}}}=\frac{3-2c}{d-4}$=1，
∴b=a-3e^a，d=7-2c，
∴點(diǎn)（a，b）在曲線y=x-3e^x上，點(diǎn)（c，d）在曲線y=7-2x上，
（a-c）²+（b-d）²的幾何意義就是曲線y=x-3e^x到曲線y=7-2x上點(diǎn)的距離最小值的平方．
考查曲線y=x-3e^x上和直線y=7-2x平行的切線，
∵y′=1-3e^x，求出y=x-3e^x上和直線y=7-2x平行的切線方程，
∴令y′=1-3e^x=-2，
解得x=0，∴切點(diǎn)為（0，-3），
該切點(diǎn)到直線y=7-2x的距離d=$\frac{|0+（-3）-7|}{\sqrt{4+1}}$=2$\sqrt{5}$，
就是所要求的兩曲線間的最小距離，
故（a-c）²+（b-d）²的最小值為d²=${（2\sqrt{5}）}^{2}$=20，
故答案為：20．

點(diǎn)評 本題考查代數(shù)式的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．