Question

16．某地區(qū)2009年至2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如表：

年份	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015
年份代號t	1	2	3	4	5	6	7
人均純收入y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

（1）求y關(guān)于t的線性回歸方程；
（2）利用（Ⅰ）中的回歸方程，分析2009年至2015年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2017年農(nóng)村居民家庭人均純收入．
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{t_i}-\overline t）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{t_i}-\overline t）}^2}}}}$．$\widehata=\overline y-\widehatb\overline t$．
參考數(shù)據(jù)：（-3）×（-1.4）+（-2）×（-1）+（-1）×（-0.7）+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14．

Answer 1

分析 （1）先求出年份代號t和人均純收入y的平均數(shù)，得到這組數(shù)據(jù)的樣本中心點，利用最小二乘法求出線性回歸方程的系數(shù)，代入樣本中心點求出a的值，寫出線性回歸方程；
（2）由（1）知，b=0.5＞0，2009年至2015年該地區(qū)居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元，求得2017年的年份代號t=9代入（1）的回歸方程，得y的值．

解答 解：（1）由所給數(shù)據(jù)計算得

$\overline{t}$=$\frac{1+2+3+4+5+6+7}{7}$=4，
$\overline{y}$=$\frac{2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9}{7}$=4.4，
$\sum_{i=1}^{7}$（t_i-$\overline{t}$）²=9+4+1+0+1+4+9=28，
$\sum_{i=1}^{7}$（t_i-$\overline{t}$）（y_i-$\overline{y}$）=（-3）×（-1.4）+（-2）×（-1）+（-1）×（-0.7）+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14．，…4分
$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{t_i}-\overline t）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{t_i}-\overline t）}^2}}}}$=$\frac{14}{28}$=0.5，$\widehata=\overline y-\widehatb\overline t$=4.3-0.5×4=2.3，
所求回歸方程為y=0.5t+2.3…8分
（2）由（1）知，b=0.5＞0，故2009年至2015年該地區(qū)居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
將2017年的年份代號t=9代入（1）的回歸方程，得y=6.8，
故預(yù)測該地區(qū)2017年該地區(qū)居民家庭人均純收入約為6.8千元．…12分．

點評 本題考查線性回歸方程的求法，考查利用線性回歸方程進行預(yù)測，屬于基礎(chǔ)題．