分析 (1)由外確界與內(nèi)確界的概念,結(jié)合曲線方程,數(shù)形結(jié)合得答案;
(2)由題意求出曲線C的方程,進(jìn)一步得到x的范圍,把x2+y2轉(zhuǎn)化為含有x的代數(shù)式,分類(lèi)討論得答案.
解答 解:(1)y2=4x的圖象為開(kāi)口向右的拋物線,拋物線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為0,無(wú)最大值,
∴曲線y2=4x不是“有界曲線”;
∵曲線(x-1)2+y2=4的軌跡為以(1,0)為圓心,以2為半徑的圓,如圖:
由圖可知曲線(x-1)2+y2=4上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為1,最大值為3,則曲線(x-1)2+y2=4是“有界曲線”,
其外確界為3,內(nèi)確界為1;
(2)由已知得:$\sqrt{(x-1)^{2}+{y}^{2}}•\sqrt{(x+1)^{2}+{y}^{2}}=a$,
整理得:(x2+y2+1)2-4x2=a2,
∴${y}^{2}=\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}-({x}^{2}+1)$,
∵y2≥0,∴$\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}≥{x}^{2}+1$,∴(x2+1)2≤4x2+a2,
∴(x2-1)2≤a2,∴1-a≤x2≤a+1,
則${x}^{2}+{y}^{2}={x}^{2}+\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}-({x}^{2}+1)$=$\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}-1$,
∵1-a≤x2≤a+1,
∴(a-2)2≤4x2+a2≤(a+2)2,
即$|a-2|≤\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}≤|a+2|$,
當(dāng)0<a<1時(shí),2-a$≤\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}≤a+2$,則$1-a≤\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}-1≤a+1$,
∴$\sqrt{1-a}≤\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}≤\sqrt{a+1}$,則曲線C的外確界與內(nèi)確界分別為$\sqrt{a+1},\sqrt{1-a}$;
當(dāng)1≤a≤2時(shí),2-a$≤\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}≤a+2$,則$1-a≤\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}-1≤a+1$,
∴0$≤\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}≤\sqrt{a+1}$,則曲線C的外確界與內(nèi)確界分別為$\sqrt{a+1}$,0;
當(dāng)2<a≤3時(shí),a-2$≤\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}≤a+2$,則a-3≤$\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}$-1≤a+1,
∴0$≤\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}≤\sqrt{a+1}$,則曲線C的外確界與內(nèi)確界分別為$\sqrt{a+1}$,0;
當(dāng)a>3時(shí),a-2$≤\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}≤a+2$,則a-3≤$\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}$-1≤a+1,
∴$\sqrt{a-3}≤\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}≤\sqrt{a+1}$,則曲線C的外確界與內(nèi)確界分別為$\sqrt{a+1}$,$\sqrt{a-3}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的外確界與內(nèi)確界的求法,體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法,理解題意是關(guān)鍵,注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用,屬難題.
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