Question

9．對于曲線C：f（x，y）=0，若存在非負實常數(shù)M和m，使得曲線C上任意一點P（x，y）有m≤|OP|≤M成立（其中O為坐標原點），則稱曲線C為既有外界又有內(nèi)界的曲線，簡稱“有界曲線”，并將最小的外界M₀成為曲線C的外確界，最大的內(nèi)界m₀成為曲線C的內(nèi)確界．
（1）曲線y²=4x與曲線（x-1）²+y²=4是否為“有界曲線”？若是，求出其外確界與內(nèi)確界；若不是，請說明理由；
（2）已知曲線C上任意一點P（x，y）到定點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）的距離之積為常數(shù)a（a＞0），求曲線C的外確界與內(nèi)確界．

Answer 1

分析 （1）由外確界與內(nèi)確界的概念，結(jié)合曲線方程，數(shù)形結(jié)合得答案；
（2）由題意求出曲線C的方程，進一步得到x的范圍，把x²+y²轉(zhuǎn)化為含有x的代數(shù)式，分類討論得答案．

解答 解：（1）y²=4x的圖象為開口向右的拋物線，拋物線上的點到原點的距離的最小值為0，無最大值，
∴曲線y²=4x不是“有界曲線”；
∵曲線（x-1）²+y²=4的軌跡為以（1，0）為圓心，以2為半徑的圓，如圖：
由圖可知曲線（x-1）²+y²=4上的點到原點距離的最小值為1，最大值為3，則曲線（x-1）²+y²=4是“有界曲線”，
其外確界為3，內(nèi)確界為1；
（2）由已知得：$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}•\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}=a$，
整理得：（x²+y²+1）²-4x²=a²，
∴${y}^{2}=\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}-（{x}^{2}+1）$，
∵y²≥0，∴$\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}≥{x}^{2}+1$，∴（x²+1）²≤4x²+a²，
∴（x²-1）²≤a²，∴1-a≤x²≤a+1，
則${x}^{2}+{y}^{2}={x}^{2}+\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}-（{x}^{2}+1）$=$\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}-1$，
∵1-a≤x²≤a+1，
∴（a-2）²≤4x²+a²≤（a+2）²，
即$|a-2|≤\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}≤|a+2|$，
當0＜a＜1時，2-a$≤\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}≤a+2$，則$1-a≤\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}-1≤a+1$，
∴$\sqrt{1-a}≤\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}≤\sqrt{a+1}$，則曲線C的外確界與內(nèi)確界分別為$\sqrt{a+1}，\sqrt{1-a}$；
當1≤a≤2時，2-a$≤\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}≤a+2$，則$1-a≤\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}-1≤a+1$，
∴0$≤\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}≤\sqrt{a+1}$，則曲線C的外確界與內(nèi)確界分別為$\sqrt{a+1}$，0；
當2＜a≤3時，a-2$≤\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}≤a+2$，則a-3≤$\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}$-1≤a+1，
∴0$≤\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}≤\sqrt{a+1}$，則曲線C的外確界與內(nèi)確界分別為$\sqrt{a+1}$，0；
當a＞3時，a-2$≤\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}≤a+2$，則a-3≤$\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}$-1≤a+1，
∴$\sqrt{a-3}≤\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}≤\sqrt{a+1}$，則曲線C的外確界與內(nèi)確界分別為$\sqrt{a+1}$，$\sqrt{a-3}$．

點評 本題考查曲線的外確界與內(nèi)確界的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，理解題意是關(guān)鍵，注意函數(shù)與方程思想的合理運用，屬難題．