Question

19．a(chǎn)₁=4，a_n+1=a_n²+6a_n+6，求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 把已知數(shù)列遞推式右邊配方變形，兩邊取對數(shù)后可得數(shù)列{lg（a_n+3）}構(gòu)成以lg7為首項，以2為公比的等比數(shù)列，求出等比數(shù)列的通項公式后結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)得答案．

解答 解：由a_n+1=a_n²+6a_n+6，得${a}_{n+1}+3=（{a}_{n}+3）^{2}$，
兩邊取對數(shù)，得lg（a_n+1+3）=2lg（a_n+3），
∵lg（a₁+3）=lg7≠0，
∴$\frac{lg（{a}_{n+1}+3）}{lg（{a}_{n}+3）}=2$．
即數(shù)列{lg（a_n+3）}構(gòu)成以lg7為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
則$lg（{a}_{n}+3）={2}^{n-1}•lg7$，
∴${a}_{n}+3=1{0}^{lg{7}^{{2}^{n-1}}}$=${7}^{{2}^{n-1}}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列通項公式的求法和對數(shù)的運算性質(zhì)，是中檔題．