Question

19．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，|F₁F₂|=2c（c＞0）．若點(diǎn)P在橢圓上，且∠F₁PF₂=90°，則點(diǎn)P到x軸的距離為（　　）

• A． $\frac{b^2}{a}$
• B． $\frac{b^2}{c}$
• C． $\frac{c^2}{a}$
• D． $\frac{c^2}$

Answer 1

分析 作橢圓，從而可得|PF₁|+|PF₂|=2a，|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，從而可得|PF₁|•|PF₂|=2b²，再由三角形的面積公式求得．

解答 解：由題意作圖如右，
∵|PF₁|+|PF₂|=2a，
又∵∠F₁PF₂=90°，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
∴|PF₁|•|PF₂|
=$\frac{（|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|）^{2}-（|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}）}{2}$
=$\frac{4{a}^{2}-4{c}^{2}}{2}$=2b²，
設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為d，
則|PF₁|•|PF₂|=|F₁F₂|•d，
故2b²=2cd，
故d=$\frac{^{2}}{c}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了等面積的應(yīng)用．