Question

【題目】平面直角坐標系中，動圓與圓外切，且與直線相切，記圓心的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）設過定點（為非零常數(shù)）的動直線與曲線交于兩點，問：在曲線上是否存在點（與兩點相異），當直線的斜率存在時，直線的斜率之和為定值.若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設條件運用兩圓位置關(guān)系建立方程求解；（2）依據(jù)題設條件借助直線的斜率公式及直線與拋物線的位置關(guān)系進行分析求解：

（1）不妨設動圓的圓心為，

易知圓的圓心為，半徑為，

∵動圓與圓外切，且與直線相切，

∴圓心在直線的右側(cè)，且點到點的距離比點到直線的距離大，

即，且，

∴，兩邊平方并化簡整理得，

即曲線的軌跡方程為．

（2）假設在曲線上存在點滿足題設條件，不妨設，

則，

∴（*）

顯然動直線的斜率非零，故可設其方程為，

聯(lián)立，整理得，

∴，且，

代入（*）式得，

顯然，于是（**），

欲使（**）式對任意成立，∴，

顯然，否則由可知，

從而可得，這與為非零常數(shù)矛盾，

∴，

∴，∴，

于是，當時，不存在滿足條件的，即不存在滿足題設條件的點；

當時， ，

將此代入拋物線的方程可求得滿足條件的點坐標為或．

下面說明此時直線的斜率必定存在，

∵，∴，∴，

顯然，∴，且，∴直線的斜率必定存在，

綜上所述，存在點（與兩點相異），其坐標為，或，使得直線的斜率之和為定值．