Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓與圓外切，且與直線相切，記圓心的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）設(shè)過(guò)定點(diǎn)（為非零常數(shù)）的動(dòng)直線與曲線交于兩點(diǎn)，問(wèn)：在曲線上是否存在點(diǎn)（與兩點(diǎn)相異），當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，直線的斜率之和為定值.若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.

【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用兩圓位置關(guān)系建立方程求解；（2）依據(jù)題設(shè)條件借助直線的斜率公式及直線與拋物線的位置關(guān)系進(jìn)行分析求解：

（1）不妨設(shè)動(dòng)圓的圓心為，

易知圓的圓心為，半徑為，

∵動(dòng)圓與圓外切，且與直線相切，

∴圓心在直線的右側(cè)，且點(diǎn)到點(diǎn)的距離比點(diǎn)到直線的距離大，

即，且，

∴，兩邊平方并化簡(jiǎn)整理得，

即曲線的軌跡方程為．

（2）假設(shè)在曲線上存在點(diǎn)滿(mǎn)足題設(shè)條件，不妨設(shè)，

則，

∴（*）

顯然動(dòng)直線的斜率非零，故可設(shè)其方程為，

聯(lián)立，整理得，

∴，且，

代入（*）式得，

顯然，于是（**），

欲使（**）式對(duì)任意成立，∴，

顯然，否則由可知，

從而可得，這與為非零常數(shù)矛盾，

∴，

∴，∴，

于是，當(dāng)時(shí)，不存在滿(mǎn)足條件的，即不存在滿(mǎn)足題設(shè)條件的點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， ，

將此代入拋物線的方程可求得滿(mǎn)足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為或．

下面說(shuō)明此時(shí)直線的斜率必定存在，

∵，∴，∴，

顯然，∴，且，∴直線的斜率必定存在，

綜上所述，存在點(diǎn)（與兩點(diǎn)相異），其坐標(biāo)為，或，使得直線的斜率之和為定值．