Question

8．已知y=ax²+bx（a＜0）通過點（1，2），且其圖象與y=-x²+2x的圖象有二個交點（如圖所示）．
（Ⅰ）求y=ax²+bx與y=-x²+2x所圍成的面積S與a的函數(shù)關(guān)系；
（Ⅱ）當(dāng)a，b為何值時，S取得最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）有已知可得其中一個交點是原點，把另一個交點表示出來，再利用定積分把面積表示處理即可；
（Ⅱ）結(jié)合（I）利用導(dǎo)數(shù)求解．

解答 解：（Ⅰ）由y=ax²+bx通過點（1，2）可得a+b=2
即b=2-a，由$\left\{\begin{array}{l}y=a{x^2}+bx\\ y=-{x^2}+2x\end{array}\right.$，解得${x_1}=\frac{a}{1+a}$
則y=ax²+bx與y=-x²+2x所圍成的面積S與a的函數(shù)關(guān)系為$S=\int_0^{x_1}{[{（a{x^2}+bx）-（-{x^2}+2x）}]}dx=-\frac{a^3}{{6{{（1+a）}^2}}}$
（Ⅱ）由$S=-\frac{a^3}{{6{{（1+a）}^2}}}$，得$S'=-\frac{1}{6}•\frac{{{a^2}（a+1）（a+3）}}{{{{（1+a）}^4}}}$，
由S'=0得a=-3，a=-1，
當(dāng)a=-1時，兩曲線只有一個交點，不合題意．
當(dāng)a＜-3，S'＜0，當(dāng)a＞-3S'＞0，
所以當(dāng)a=-3時，S取得極小值，即最小值，此時b=2-a=5，${S_{min}}=\frac{9}{8}$．

點評 本題主要考查二次函數(shù)以及定積分，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中等題．