Question

1．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點(diǎn)B（0，1）．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）直線l：y=k（x+2）交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，若點(diǎn)B始終在以PQ為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解方程可求a，b進(jìn)而可求方程；
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x=2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，可得：（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0，由直線y=k（x+2）恒過點(diǎn)橢圓的左頂點(diǎn)（-2，0），可求x₁，y₁，由方程的根與系數(shù)關(guān)系可得，x₁+x₂，y₁+y₂，由已知可得，$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}＜0$，根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得關(guān)于k的不等式，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意知$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+y=1$．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x=2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，得：（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0 …（6分）
依題意：直線l：y=k（x+2）恒過點(diǎn)（-2，0），此點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，
所以x₁=-2，y₁=0，----①，
由方程的根與系數(shù)關(guān)系可得，x₁+x₂=$\frac{-16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$-------②，
可得y₁+y₂=k（x₁+2）+k（x₂+2）=k（x₁+x₂）+4k----③，…（8分）
由①②③，${x}_{2}=\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，${y}_{2}=\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$                      …（10分）
由點(diǎn)B在以PQ為直徑的圓內(nèi)，得∠PBQ為鈍角或平角，即$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}＜0$．
$\overrightarrow{BP}$=（-2，-1），$\overrightarrow{BQ}$=（x₂，y₂-1）
∴$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}$=-2x₂-y₂+1＜0．…（12分）
即$\frac{4-16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}+\frac{4k}{1+4{k}^{2}}-1＞0$，整理可得，20k²-4k-3＜0

解得：k$∈（-\frac{3}{10}，\frac{1}{2}）$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了橢圓的性質(zhì)在求解方程中的應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，試題對(duì)考試的邏輯思維能力及計(jì)算能力的要求較高．