Question

6．已知M是橢圓$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1上任意一點(diǎn)，P是線段OM的中點(diǎn)，則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$（　�。�

• A． 沒有最大值，也沒有最小值
• B． 有最大值，沒有最小值
• C． 有最小值，沒有最大值
• D． 有最大值和最小值

Answer 1

分析 通過(guò)極坐標(biāo)表示成M（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），利用向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)及三角函數(shù)的有界性計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：由題可知：F₁（-$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{2}$，0），
設(shè)M（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），
則P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ，$\frac{1}{2}$sinθ），
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ，-$\frac{1}{2}$sinθ）•（$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ，-$\frac{1}{2}$sinθ）
=$\frac{3}{4}$cos²θ-2+$\frac{1}{4}$sin²θ
=（$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}$）cos²θ-2+$\frac{1}{4}$sin²θ
=$\frac{1}{2}$cos²θ-$\frac{7}{4}$，
∵cosθ∈[-1，1]，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$∈[-$\frac{7}{4}$，-$\frac{5}{4}$]，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題以橢圓為載體，考查向量數(shù)量積的范圍，注意解題方法的積累，屬于中檔題．