Question

19．定長(zhǎng)為4的線段MN的兩端點(diǎn)在拋物線y²=x上移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，則P到y(tǒng)軸距離的最小值為$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 先設(shè)出A，B的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線方程可求得其準(zhǔn)線方程，進(jìn)而可表示出M到y(tǒng)軸距離，根據(jù)拋物線的定義結(jié)合兩邊之和大于第三邊且A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)判斷出$\frac{\left|MF\right|+\left|NF\right|}{2}$的最小值即可

解答 解：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
拋物y²=x的線準(zhǔn)線x=-$\frac{1}{4}$，
P到y(tǒng)軸距離S=|$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$|=$\frac{{x}_{1}+\frac{1}{4}+{x}_{2}+\frac{1}{4}}{2}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{\left|MF\right|+\left|NF\right|}{2}$-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{\left|MF\right|+\left|NF\right|}{2}$-$\frac{1}{4}$≥$\frac{\left|MN\right|}{2}$-$\frac{1}{4}$=2-$\frac{1}{4}$=$\frac{7}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)M，N過F點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，
故答案為：$\frac{7}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、利用不等式求最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題