Question

10．已知圓心在y軸上的⊙C經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），且⊙C與直線x+$\sqrt{3}$y=4相切，切點(diǎn)在第一象限．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，⊙C與x軸正半軸交于B點(diǎn)．
（1）求⊙C的方程；
（2）若⊙C內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A，O，B的距離成等比數(shù)列，求$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用條件，求出圓心坐標(biāo)，即可求⊙C的方程；
（2）設(shè)P（x，y），A（-2，0），B（2，0），利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合⊙C內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A，O，B的距離成等比數(shù)列，即可求$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)圓心為（0，b），則$\sqrt{4+^{2}}$=$\frac{|\sqrt{3}b-4|}{\sqrt{1+3}}$，
∴b=0或8$\sqrt{3}$，
∵切點(diǎn)在第一象限，
∴b=0，
∴⊙C的方程x²+y²=4；
（2）設(shè)P（x，y），A（-2，0），B（2，0）
則$\overrightarrow{AP}$=（x+2，y），$\overrightarrow{BP}$=（x-2，y），$\overrightarrow{OP}$=（x，y）
設(shè)z=$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=x²-4+y²．（1）
又∵|PA|•|PB|=PO²，
∴[（2+x）²+y²]•[（x-2）²+y²]=（x²+y²）²，
整理得：x²-y²=2（2），
這是P點(diǎn)滿足的條件 （其圖形為一雙曲線），
求它與圓的交點(diǎn)：即，解方程組得x²=3，
（但P（x，y）在圓內(nèi)，故對P，只能x²＜3，
又由（2）知x²≥2，即2≤x²＜3（3），
由（2）還得：y²=x²-2，
代入（1），得z=2x²-6（4）．
由（3），（4）知，z的取值范圍為：[-2，0），
故$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$的取值范圍是：[-2，0）．

點(diǎn)評 本題考查考查了等比數(shù)列和平面向量的性質(zhì)，考查圓的方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．