Question

設(shè)0＜a＜1，函數(shù)f（x）=log_a

x-3

x+3

．
（1）求f（x）的定義域，并判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)f（x）定義域?yàn)閇m，n）（m＜n）時(shí)，值域?yàn)閇1+log_a（n-1），1+log_a（m-1）]，求m、a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用真數(shù)大于0，可得f（x）的定義域，判斷內(nèi)、外函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）充分利用函數(shù)與方程的思想，利用函數(shù)的單調(diào)性和最值將問題轉(zhuǎn)化為方程在某區(qū)間上有解，從而得到參數(shù)a的范圍．

解答： 解：（1）由

x-3

x+3

＞0，可得f（x）的定義域（-∞，-3）∪（3，+∞）；
∵y=

x-3

x+3

在（-∞，-3）、（3，+∞）上單調(diào)增，0＜a＜1，
∴f（x）=log_a

x-3

x+3

在（-∞，-3）、（3，+∞）上單調(diào)減；
（2）∵f（x）定義域?yàn)閇m，n）（m＜n）時(shí)，值域?yàn)閇1+log_a（n-1），1+log_a（m-1）]，
∴f（m）=1+log_a（m-1）]，f（n）=1+log_a（n-1），
∵m＞1，∴m＞3．
∴m，n是方程f（x）=1+log_a（x-1）在區(qū)間（3，+∞）內(nèi)的兩個(gè)不相等的實(shí)根，
即m，n是關(guān)于x的方程ax²+（2a-1）x+3（1-a）=0在區(qū)間（3，+∞）內(nèi)的兩個(gè)不相等的實(shí)根，
∴

△＞0 - 2a-1 2a ＞3 9a+3(2a-1)+3(1-a)＞0

，∴0＜a＜

1

8

．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是區(qū)間（0，

1

8

）．

點(diǎn)評：本題充分考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的值域與最值，考查轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．