Question

6．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱AB=1，點(diǎn)E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF⊥BD₁；
（2）求二面角B₁-EF-B的平面角的正切值；
（3）求三棱錐B₁-BEF的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線平面垂直的性質(zhì)，判定轉(zhuǎn)化證明線線垂直．
（2）連接B₁H，由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得EF⊥BH，由正方體的幾何特征，可得B₁H⊥EF，則∠B₁HB是二面角B₁-EF-B的平面角，解三角形B₁HB，即可得到二面角B₁-EF-B的大小
（3）根據(jù)體積公式V=$\frac{1}{3}$×S_△BEF×BB₁，先求解面積，高線問題．

解答 （1）證明：連結(jié)AC、BD，AC與BD交于點(diǎn)O．
∵DD₁⊥AD，DD₁⊥AC，AD∩DC=D
∴DD₁⊥平面ABCD．
∴DD₁⊥AC，
又四邊形是正方形，AC⊥BD，BD∩DD₁=D
∴AC⊥平面BDD₁．
∴AC⊥BD₁
∵點(diǎn)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)
∴EF∥AC，
∴EF⊥BD₁，
（2）解：EF與BD相交于點(diǎn)H，連接B₁H，∵E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，∴EF⊥BH
又BB₁⊥平面ABCD，∴BH是B₁H在平面ABCD的射影，∴B₁H⊥EF
∴∠B₁HB是二面角B₁-EF-B的平面角，
∴tan∠B₁HB=$\frac{{B}_{1}B}{BH}$=$\frac{{B}_{1}B}{\frac{1}{4}×\sqrt{2}{B}_{1}B}$=2$\sqrt{2}$；
（3）解：∵AB=1．BB₁⊥平面ABCD，
∴BB₁是三棱錐B₁-BEF的高，
∵AB⊥BC，E，F(xiàn)，分別是AB，CD的中點(diǎn)．
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}×BE$×BF=$\frac{1}{8}$，
∴V=$\frac{1}{3}×$S_△BEF×BB₁=$\frac{1}{24}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線平面的位置關(guān)系，運(yùn)用定理判斷位置關(guān)系，求解大小，屬于難題．