6.已知拋物線C:y2=4x,以M(1,2)為直角頂點作該拋物線的內(nèi)接直角三角形MAB,若直線AB過定點P,則點P的坐標為(5,-2).

分析 設A$(\frac{{y}_{1}^{2}}{4},{y}_{1})$,B$(\frac{{y}_{2}^{2}}{4},{y}_{2})$.利用$\overrightarrow{MA}⊥\overrightarrow{MB}$,可得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0,化為y1y2+2(y1+y2)+20=0.代入直線AB的方程為:y-y1=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{\frac{{y}_{2}^{2}}{4}-\frac{{y}_{1}^{2}}{4}}$$(x-\frac{{y}_{1}^{2}}{4})$,化簡整理即可得出.

解答 解:設A$(\frac{{y}_{1}^{2}}{4},{y}_{1})$,B$(\frac{{y}_{2}^{2}}{4},{y}_{2})$.
∵$\overrightarrow{MA}⊥\overrightarrow{MB}$,
$\overrightarrow{MA}$=$(\frac{{y}_{1}^{2}}{4}-1,{y}_{1}-2)$,$\overrightarrow{MB}$=$(\frac{{y}_{2}^{2}}{4}-1,{y}_{2}-2)$.
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=$(\frac{{y}_{1}^{2}}{4}-1)(\frac{{y}_{2}^{2}}{4}-1)+({y}_{1}-2)({y}_{2}-2)$=0,
化為y1y2+2(y1+y2)+20=0.
直線AB的方程為:y-y1=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{\frac{{y}_{2}^{2}}{4}-\frac{{y}_{1}^{2}}{4}}$$(x-\frac{{y}_{1}^{2}}{4})$,
化為:(y1+y2)y-y1y2=4x.
令y=-2,則20=4x,解得x=5.
∴直線AB過定點P(5,-2).
故答案為:(5,-2).

點評 本題考查了拋物線的標準方程及其性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關系、點斜式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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