Question

15．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心，依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線后人稱之為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)A（2，0），B（0，4），若其歐拉線方程為x-y+2=0，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-4，0）．

Answer 1

分析 設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式求得重心，代入歐拉線得一方程，求出AB的垂直平分線，和歐拉線方程聯(lián)立求得三角形的外心，由外心到兩個(gè)頂點(diǎn)的距離相等得另一方程，兩方程聯(lián)立求得點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解答 解：設(shè)C（m，n），由重心坐標(biāo)公式得，
三角形ABC的重心為（$\frac{2+m}{3}，\frac{4+n}{3}$），
代入歐拉線方程得：$\frac{2+m}{3}-\frac{4+n}{3}+2=0$，
整理得：m-n+4=0  ①
AB的中點(diǎn)為（1，2），${k}_{AB}=\frac{4-0}{0-2}=-2$，
AB的中垂線方程為y-2=$\frac{1}{2}$（x-1），即x-2y+3=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+3=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$．
∴△ABC的外心為（-1，1）．
則（m+1）²+（n-1）²=3²+1²=10，
整理得：m²+n²+2m-2n=8  ②
聯(lián)立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．
當(dāng)m=0，n=4時(shí)B，C重合，舍去．
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-4，0）．
故答案為：（-4，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程的求法，訓(xùn)練了直線方程的點(diǎn)斜式，考查了方程組的解法．