Question

5．已知f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$（a，b，c∈Z）滿足f（-x）+f（x）=0，且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求a，b，c的值；
（2）當x≤-1時，判斷f（x）的單調性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（-x）+f（x）=0可得出c=0，而根據(jù)f（1）=2可以得到b=$\frac{a+1}{2}$，此時便可得出f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{\frac{a+1}{2}x}$，再根據(jù)條件f（2）＜3可得到a的范圍，而根據(jù)a，b∈Z便可得出a=b=1；
（2）由上面可得出f（x）=$x+\frac{1}{x}$，求導，判斷導數(shù)f′（x）在x≤-1時的符號，即可判斷出f（x）的單調性．

解答 解：（1）由f（-x）+f（x）=0得，f（-x）=-f（x）；
∴$\frac{a{x}^{2}+1}{-bx+c}=\frac{a{x}^{2}+1}{-bx-c}$；
∴-bx+c=-bx-c；
∴c=0；
∴由f（1）=2得，$\frac{a+1}=2$，即b=$\frac{a+1}{2}$；
∴f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{\frac{a+1}{2}x}$；
f（2）＜3；
∴$\frac{4a+1}{a+1}＜3$；
解得-1＜a＜2，又a，b∈Z；
∴a=1，b=1；
∴a，b，c的值分別為1，1，0；
（2）f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x$+\frac{1}{x}$；
∴$f′（x）=\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$；
∵x≤-1；
∴x²-1≥0；
∴f′（x）≥0；
∴當x≤-1時，f（x）單調遞增．

點評 考查奇函數(shù)的定義，通過條件求函數(shù)f（x）解析式中的參數(shù)，從而確定函數(shù)解析式的方法，注意條件a，b為整數(shù)的運用，以及根據(jù)導數(shù)符號判斷函數(shù)單調性的方法．