Question

19．已知函數(shù)f（x）=xlnx-（a+1）x+1≥0對任意x∈[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，則a的最大值為（　�。�

• A． 3
• B． 1
• C． 2
• D． 0

Answer 1

分析 對一切x∈[$\frac{1}{2}$，2]，f（x）≥0恒成立，可化為a≤lnx-1+$\frac{1}{x}$在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立．令F（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出；

解答 解：對一切x∈[$\frac{1}{2}$，2]，函數(shù)f（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$，f（x）≥0恒成立，即xlnx-（a+1）x+1≥0恒成立，即a≤lnx-1+$\frac{1}{x}$在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立．
令F（x）=lnx-1+$\frac{1}{x}$，
則F′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
在[$\frac{1}{2}$，1）上F′（x）＜0，在（1，2]上F′（x）＞0，
因此，F(xiàn)（x）在x=1處取極小值，也是最小值，即F_min（x）=F（1）=0，
∴a≤0．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 該題考查函數(shù)恒成立問題，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力