Question

16．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等邊三角形，四邊形ABCD是平行四邊形，∠ADC=120°，AB=2AD．
（1）求證：平面PAD⊥平面PBD；
（2）求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）令AD=1，求出BD=$\sqrt{3}$，從而AD⊥BD，進而BD⊥平面PAD，由此能證明平面PAD⊥平面PBD．
（2）以D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，過D作垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-PB-C的余弦值．

解答 證明：（1）在平行四邊形ABCD中，令AD=1，
則BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}-2×AD×AB×cos60°}$=$\sqrt{3}$，
在△ABD中，AD²+BD²=AB²，∴AD⊥BD，
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD，BD?平面PBD，
∴平面PAD⊥平面PBD．
解：（2）由（1）得AD⊥BD，以D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，
過D作垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標系，
令AD=1，則A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，$\sqrt{3}$，0），P（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
$\overrightarrow{AB}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{PB}$=（-$\frac{1}{2}，\sqrt{3}，-\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（-1，0，0），
設(shè)平面PAB的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}=-x+\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{n}=-\frac{1}{2}x+\sqrt{3}y-\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，1，1$），
設(shè)平面PBC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-a=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=-\frac{1}{2}a+\sqrt{3}b-\frac{\sqrt{3}}{2}c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，2），
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1+2}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{3}{5}$，
由圖形知二面角A-PB-C的平面角為鈍角，
∴二面角A-PB-C的余弦值為-$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．