設(shè)數(shù)列{an},an≠0,a1=
5
6
,若以an-1,an為系數(shù)的二次方程:an-1x2+anx-1=0(n≥2,n∈N*)都有兩個(gè)不同的根α,β滿足3α-αβ+3β+1=0
(1)求證:{an-
1
2
}
為等比數(shù)列;
(2)求{an}的通項(xiàng)公式并求前n項(xiàng)和Sn
(1)∵3(α+β)-αβ+1=0,
∴依題意,得3
an
an-1
-
1
an-1
=1(n≥2),
∴3an-1=an-1(n≥2),
∴3(an-
1
2
)=an-1-
1
2
(n≥2),
∴{an-
1
2
}是公比為
1
3
,首項(xiàng)為
5
6
-
1
2
=
1
3
的等比數(shù)列;
(2)由(1)知,an-
1
2
=
1
3
(
1
3
)
n-1
=(
1
3
)
n
,
∴an=
1
2
+(
1
3
)
n
,
∴Sn=a1+a2+…+an
=(
1
2
+
1
3
)+(
1
2
+(
1
3
)
2
)+…+(
1
2
+(
1
3
)
n

=
n
2
+
1
3
[1-(
1
3
)
n
]
1-
1
3

=
n+1
2
-
1
3n
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

數(shù)列的前項(xiàng)和為,且的等差中項(xiàng),等差數(shù)列滿足
(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-n(n∈N+),
(1)判斷數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列,并證明你的結(jié)論;
(2)設(shè)bn=
1
Sn
,且{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知等差數(shù)列{an}中,公差d>0,其前n項(xiàng)和為Sn,且滿足:a2•a3=45,a1+a4=14.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令bn=
2Sn
2n-1
,f(n)=
bn
(n+25)•bn+1
(n∈N*),求f(n)的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知n次多項(xiàng)式Sn(x)=(1+2x)(1+4x)(1+8x)…(1+2nx),其中n是正整數(shù).記Sn(x)的展開式中x的系數(shù)是an,x2的系數(shù)是bn
(Ⅰ)求an;
(Ⅱ)證明:bn+1-bn=4n+1-2n+2;
(Ⅲ)是否存在等比數(shù)列{cn}和正數(shù)c,使得bn=(cn-c)(cn+1-c)對任意正整數(shù)n成立?若存在,求出通項(xiàng)cn和正數(shù)c;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

(理)在數(shù)列{an}中,a1=6,且對任意大于1的正整數(shù)n,點(diǎn)(
an
,
an-1
)在直線x-y=
6
上,則數(shù)列{
an
n3(n+1)
}的前n項(xiàng)和Sn=______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知遞增的等比數(shù)列{an}滿足:a2+a3+a4=28,a3+2是a2與a4的等差中項(xiàng).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)假設(shè)bn=
an
(an+1)(an+1+1)
,其數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn,并解不等式Tn
127
390

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

項(xiàng)數(shù)為n的數(shù)列a1,a2,a3,…,an的前k項(xiàng)和為Sk(k=1,2,3,…,n),定義
S1+S2+…+Sn
n
為該項(xiàng)數(shù)列的“凱森和”,如果項(xiàng)數(shù)為99項(xiàng)的數(shù)列a1,a2,a3,…,a99的“凱森和”為1000,那么項(xiàng)數(shù)為100的數(shù)列100,a1,a2,a3,…,a99的“凱森和”為( 。
A.991B.1001C.1090D.1100

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在數(shù)列{an}中,前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=
n(n+1)
2

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=
an
2n
,數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和為Tn,求Tn的取值范圍.

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同步練習(xí)冊答案