Question

6．已知單調(diào)遞減的等比數(shù)列{a_n}滿足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄是等差中項．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=log₂a_n，求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 根據(jù)題意得出方程組：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}{q}^{3}=28①}\\{a（q+{q}^{3}）=2（{a}_{1}{q}^{2}+2）②}\end{array}\right.$求解得出q=$\frac{1}{2}$或q=2，單調(diào)遞減得出：q=$\frac{1}{2}$，根據(jù)通項公式求解即可．
（2）根據(jù)對數(shù)運算得出b_n=log₂a_n=6-n，運用裂項法$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（6-n）（5-n）}$=$\frac{1}{5-n}$$-\frac{1}{6-n}$
求解得出S_n即可．

解答 解：（1）設等比數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公比為q，則
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}{q}^{3}=28①}\\{a（q+{q}^{3}）=2（{a}_{1}{q}^{2}+2）②}\end{array}\right.$
由②×7-①得：2q²-5q+2=0
所以q=$\frac{1}{2}$或q=2
因為等比數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列，
所以q=$\frac{1}{2}$，a₁=32，即a_n=32×（$\frac{1}{2}$）^n-1=2^6-n
（2）b_n=log₂a_n=6-n，
因為$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（6-n）（5-n）}$=$\frac{1}{5-n}$$-\frac{1}{6-n}$
所以S_n=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{3}$$-\frac{1}{4}$$+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{6-n}$$-\frac{1}{7-n}$$+\frac{1}{5-n}$$-\frac{1}{6-n}$=$\frac{1}{5-n}$$-\frac{1}{5}$=$\frac{n}{25-5n}$（n＜5）．

點評 本題綜合考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，公式，方程組的方法求解，解題時要注意等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)的靈活運用，裂項法求解數(shù)列的和，屬于中檔題．