Question

12．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x²+3x-4，則當(dāng)f（sinα）+f′（cosβ）（α、β∈[0，2π））取得最大值時(shí)，α+β=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，化簡f（sinα）+f′（cosβ），結(jié)合三次函數(shù)的單調(diào)性以及一元二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．

解答 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=-x²+2x+3，
則f（sinα）+f′（cosβ）=-$\frac{1}{3}$（sinα）³+（sinα）²+3sinα-4-（cosβ）²+2cosβ+3
=-$\frac{1}{3}$（sinα）³+（sinα）²+3sinα-（cosβ-1）²，
設(shè)g（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x²+3x，
則g′（x）=-x²+2x+3=-（x+1）（x-3），
則當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，g′（x）≥0，即函數(shù)g（x）在[-1，1]上為增函數(shù)，
∴當(dāng)sinα=1時(shí)，y=-$\frac{1}{3}$（sinα）³+（sinα）²+3sinα的取得最大值，
設(shè)y=-（cosβ-1）²，則當(dāng)cosβ=1時(shí)，y=-（cosβ-1）²，取得最大值．
故此時(shí)f（sinα）+f′（cosβ）（α、β∈[0，2π））取得最大值時(shí)，
∵α、β∈[0，2π），
∴α=$\frac{π}{2}$，β=0，
則α+β=$\frac{π}{2}$，
故答案為：$\frac{π}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)最值的求解，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用三次函數(shù)和一元二次函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．