Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：（x-1）f′（x）≤0（f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)）且y=f（x+1）為偶函數(shù)，若向量

a

=（log

1

2

m，-1），

b

=（1，-2），則滿足不等式f（

a

•

b

）＜f（-1）的實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由（x-1）f′（x）≤0先分析函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合y=f（x+1）為偶函數(shù)研究函數(shù)f（x）的對稱性．最后利用函數(shù)的單調(diào)性將結(jié)果化簡后解不等式即可．

解答： 解：（x-1）f′（x）≤0得當(dāng)x＞1時(shí)f′（x）≤0；當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＞0．所以函數(shù)f（x）在（-∞，1）遞增，在（1，+∞）上遞減．
又且y=f（x+1）為偶函數(shù)，所以f（x）的圖象關(guān)于x=1對稱．且當(dāng)自變量取值離x=1越近時(shí)，函數(shù)值越大．
由

a

=(log

1

2

m，-1)，

b

=(1，-2)．所以

a

•

b

=log

1

2

m+2．又因?yàn)閒（

a

•

b

）＜f（-1），
所以|log

1

2

m+2-1|＞|-1-1|，
即log

1

2

m＜-3或log

1

2

m＞1．
解得0＜m＜

1

2

或m＞8．
故答案為：(0，

1

2

)∪(8，+∞)．

點(diǎn)評：本題綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性、對稱性以及數(shù)量積的計(jì)算等基礎(chǔ)知識，要注意分析函數(shù)f（x）的性質(zhì)，將給的條件化歸為f（x）的性質(zhì)，然后計(jì)算求解．