Question

11．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），若存在圓心在雙曲線的一條漸近線上的圓，與另一條漸近線及x軸均相切，則雙曲線的離心率為2．

Answer 1

分析 不妨設(shè)圓心在雙曲線一條漸近線y=$\frac{a}x$上，設(shè)出C的坐標(biāo)，由C到x軸的距離等于到直線y=-$\frac{a}x$的距離列式求得雙曲線的離心率．

解答 解：如圖，
雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的兩條漸近線方程分別為y=-$\frac{a}x$和y=$\frac{a}x$，
設(shè)圓C的圓心C（${x}_{0}，\frac{a}{x}_{0}$），
由題意可知，C到x軸的距離等于C到直線y=-$\frac{a}x$的距離，
則$|\frac{a}{x}_{0}|=\frac{|b{x}_{0}+a•\frac{a}{x}_{0}|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=\frac{|2b{x}_{0}|}{c}$，
即$\frac{a}=\frac{2b}{c}$，
∴$\frac{c}{a}=e=2$．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．