Question

14．已知a＞0，b＞0，a+$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$+$\frac{8}$=6，若直線y=mx+ab與不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+y-3≥0\\ 2x-y≥0\\ x-2≤0\end{array}\right.$，表示的平面區(qū)域有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． $[{-6，-\frac{3}{2}}]$
• B． [-2，0]
• C． $[{-2，-\frac{3}{2}}]$
• D． （-∞，-2]

Answer 1

分析 利用基本不等式求出a，b的值，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識進行求解即可．

解答 解：∵a＞0，∴a+$\frac{1}{a}$≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a=1取等號．
∵b＞0，∴$\frac{2}$+$\frac{8}$≥2$\sqrt{\frac{2}×\frac{8}}$=2$\sqrt{4}$=2×2=4，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2}$=$\frac{8}$，即b=4取等號，
則a+$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$+$\frac{8}$≥2+4=6，
∵a+$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$+$\frac{8}$=6，
∴a+$\frac{1}{a}$=2，且$\frac{2}$+$\frac{8}$=4，即a=1，b=4，
則直線y=mx+ab=mx+4過定點（0，4），
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
若直線與平面區(qū)域有公共點，
則滿足點A在直線y=mx+4上或在直線的上方，
同時B在直線y=mx+4上或在直線的下方，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2=0}\\{2x-y=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，即A（2，4），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3=0}\\{2x-y=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即B（1，2），
則A的坐標(biāo)都滿足不等式y(tǒng)≥mx+4，
B的坐標(biāo)都滿足不等式y(tǒng)≤mx+4，
即$\left\{\begin{array}{l}{4≥2m+4}\\{2≤m+4}\end{array}\right.$，
則$\left\{\begin{array}{l}{m≤0}\\{m≥-2}\end{array}\right.$，
即-2≤m≤0，
故選：B．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃以及基本不等式應(yīng)用，根據(jù)基本不等式求出a，b的值是解決本題的關(guān)鍵．