Question

4．已知兩個(gè)等差數(shù)列{a_n}、{b_n}，它們的前n項(xiàng)和分別是S_n、T_n，若$\frac{S_n}{T_n}$=$\frac{2n+3}{3n-1}$，則$\frac{{{a_3}+{a_5}}}{{{b_3}+{b_5}}}$+$\frac{a_4}{{{b_2}+{b_6}}}$=$\frac{51}{40}$．

Answer 1

分析 利用等差中項(xiàng)即得$\frac{{a}_{4}}{_{4}}$=$\frac{{S}_{7}}{{T}_{7}}$，進(jìn)而計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}、{b_n}均為等差數(shù)列，
∴S₇=$\frac{7（{a}_{1}+{a}_{7}）}{2}$=7a₄，T₇=$\frac{7（_{1}+_{7}）}{2}$=7b₄，
又∵$\frac{{{a_3}+{a_5}}}{{{b_3}+{b_5}}}$=$\frac{2{a}_{4}}{2_{4}}$=$\frac{{a}_{4}}{_{4}}$，$\frac{a_4}{{{b_2}+{b_6}}}$=$\frac{{a}_{4}}{2_{4}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{a}_{4}}{_{4}}$，
∴$\frac{{{a_3}+{a_5}}}{{{b_3}+{b_5}}}$+$\frac{a_4}{{{b_2}+{b_6}}}$=$\frac{3}{2}$•$\frac{{a}_{4}}{_{4}}$，
∵$\frac{S_n}{T_n}$=$\frac{2n+3}{3n-1}$，
∴$\frac{{a}_{4}}{_{4}}$=$\frac{{S}_{7}}{{T}_{7}}$=$\frac{2×7+3}{3×7-1}$=$\frac{17}{20}$，
∴$\frac{{{a_3}+{a_5}}}{{{b_3}+{b_5}}}$+$\frac{a_4}{{{b_2}+{b_6}}}$=$\frac{3}{2}$•$\frac{{a}_{4}}{_{4}}$=$\frac{3}{2}$•$\frac{17}{20}$=$\frac{51}{40}$，
故答案為：$\frac{51}{40}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的簡(jiǎn)單性質(zhì)，利用等差中項(xiàng)是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．