Question

9．設f（x）、g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x＞0時，g（1）=0且f′（x）•g（x）+f（x）•g′（x）＞0，則 不等式g（x）•f（x）＞0的解集是（　�。�

• A． （-1，0）∪（0，1）
• B． （-1，0）∪（1，+∞）
• C． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（0，1）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)m（x）=f（x）•g（x），根據(jù)導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，判斷函數(shù)m（x）的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：設m（x）=f（x）•g（x），
∵x＞0時，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，
即m′（x）=[f（x）g（x）]′＞0
故m（x）在x＞0時遞增，
∵f（x）、g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，
∴m（x）=f（x）g（x）是R上的奇函數(shù)，
∴m（x）的圖象關(guān)于原點對稱，
即m（x）在x＜0時也是增函數(shù)．
∵g（1）=0，∴g（-1）=-g（1）=0，
∴m（-1）=0且m（1）=0，則函數(shù)m（x）對應的草圖為
則m（x）＞0的解為：x＞1或-1＜x＜0．
故不等式的解集為{x|x＞1或-1＜x＜0}，
故選：B

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性的應用，以及導數(shù)的運算，不等式的解法等，根據(jù)導數(shù)的正負可以確定函數(shù)的單調(diào)性，利用數(shù)形結(jié)合的思想進行解題．屬于中檔題．