Question

14．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（1）=1，且對(duì)于任意的xf′（x）$＜\frac{1}{2}$恒成立，則不等式f（lg²x）＜$\frac{l{g}^{2}x}{2}$+$\frac{1}{2}$的解集為$（0，\frac{1}{10}）∪（10，+∞）$．

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，由f′（x）＜$\frac{1}{2}$，得到g′（x）小于0，得到g（x）為減函數(shù)，將所求不等式變形后，利用g（x）為減函數(shù)求出x的范圍，即為所求不等式的解集．

解答 解：設(shè)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，由f′（x）＜$\frac{1}{2}$，
得到g′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$＜0，
∴g（x）為減函數(shù)，
又f（1）=1，
∵f（lg²x）＜$\frac{l{g}^{2}x}{2}$+$\frac{1}{2}$，
∴g（lg²x）=f（lg²x）-$\frac{1}{2}$lg²x＜$\frac{l{g}^{2}x}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$lg²x=$\frac{1}{2}$=f（1）-$\frac{1}{2}$=g（1）=g（lg²10），
∴l(xiāng)g²x＞lg²10，
∴（lgx+lg10）（lgx-lg10）＞0，
∴l(xiāng)gx＜-lg10，或lgx＞lg10，
解得0＜x＜$\frac{1}{10}$，或x＞10，
故答案為：$（0，\frac{1}{10}）∪（10，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了其他不等式的解法，涉及的知識(shí)有：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及特殊點(diǎn)，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是一道綜合性較強(qiáng)的試題，屬于中檔題．