Question

6．已知橢圓的兩焦點為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），P為橢圓上一點，且2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|．
（1）求此橢圓方程；
（2）若點P 是橢圓上的點且∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得：c=1，a²=b²+c²．由2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|可得4c=2a，聯(lián)立解出即可得出．
（2）利用橢圓的定義、余弦定理可得mn，再利用三角形面積計算公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得：c=1，a²=b²+c²．
由2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|可得4c=2a，即a=2c，聯(lián)立解得：a=2，c=1，b²=3．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n．
則m+n=4，
∵∠F₁PF₂=60°，∴cos60°=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-{2}^{2}}{2mn}$=$\frac{1}{2}$，化為：m²+n²=mn+4，
∴（m+n）²=3mn+4，即4²=3mn+4，解得mn=4．
∴△F₁PF₂的面積S=$\frac{1}{2}mnsin6{0}^{°}$=$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程、余弦定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．