Question

15．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{n+2}{3}$a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{n}^{2}+2{a}_{n}}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，證明：T_n＜$\frac{2}{3}$；
（3）設(shè)c_n=$\frac{2n+1}{{a}_{n}^{2}}$，問：是否存在常數(shù)M，使得對(duì)所有的n∈N^*，都有c₁+c₂+…+c_n＜M．若存在，求M的最小值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過S_n=$\frac{n+2}{3}$a_n與S_n+1=$\frac{n+3}{3}$a_n+1作差、整理可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+2}{n}$，從而$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$、$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n}{n-2}$、…、$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{1}$，累乘、計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過（1）放縮、裂項(xiàng)可知b_n＜$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，通過從第二項(xiàng)起放縮、并項(xiàng)相加即得結(jié)論；
（3）通過（1）裂項(xiàng)可知c_n=4[$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$]，并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 （1）解：∵S_n=$\frac{n+2}{3}$a_n，
∴S_n+1=$\frac{n+3}{3}$a_n+1，
兩式相減得：a_n+1=$\frac{n+3}{3}$a_n+1-$\frac{n+2}{3}$a_n，
整理得：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+2}{n}$，
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$，
$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n}{n-2}$，
…
$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{1}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{n+1}{n-1}$•$\frac{n}{n-2}$•…•$\frac{3}{1}$=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$；
（2）證明：由（1）可知b_n=$\frac{1}{{n}^{2}+2{a}_{n}}$
=$\frac{1}{{n}^{2}+2•\frac{n（n+1）}{2}}$
=$\frac{1}{{n}^{2}+n（n+1）}$
=$\frac{2}{2n（2n+1）}$
＜$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，
∴T_n≤$\frac{2}{2（2+1）}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$
=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+1}$
＜$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$
=$\frac{2}{3}$；
（3）結(jié)論：存在最小常數(shù)M=4，使得對(duì)所有的n∈N^*，都有c₁+c₂+…+c_n＜M．
理由如下：
由（1）可知c_n=$\frac{2n+1}{{a}_{n}^{2}}$=$\frac{2n+1}{[\frac{n（n+1）}{2}]^{2}}$=$\frac{4（2n+1）}{{n}^{2}（{n+1）}^{2}}$=4[$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$]，
∴c₁+c₂+…+c_n=4[1-$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$]
=4[1-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$]
＜4，
∴存在最小常數(shù)M=4，使得對(duì)所有的n∈N^*，都有c₁+c₂+…+c_n＜M．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．